3. Suponha que g x ≤ x 4 , para todo x ∈ R . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a função g x de forma que g x ≤ x 4 e nosso objetivo é calcular o limite de g x / x para x → 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A ideia é isolar g x na inequação, quando fazemos isso, encontramos g x entre duas funções.

Calculando o limite dessas duas funções, podemos dizer que o limite de g x está entre os limites que encontramos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função é obtida através da inequação

g x ≤ x 4

Tirando o modulo de g x , podemos ter - g x ou g x , ou seja

- x 4 ≤ g x ≤ x 4

Dividindo todos os lados por x , chegamos em

- x 4 x ≤ g x x ≤ x 4 x

- x 3 ≤ g x x ≤ x 3

Dessa forma, calculando o limite das funções para x → 0 , chegamos em

lim x → 0 ⁡ - x 3 ≤ lim x → 0 ⁡ g x x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3

Nos extremos é simples... substituindo x por 0 , chegamos em

0 ≤ lim x → 0 ⁡ g x x ≤ 0

Portanto, certamente

lim x → 0 ⁡ g x x = 0

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

lim x → 0 ⁡ g x x = 0

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