Calcule lim(x -> 0) x * sen(1/x) .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular o seguinte limite

l i m x → 0 x   s e n ( 1 x )

Esse limite está em um formato que é bom utilizar o teorema do confronto! Saca só!

Passo 2

Para usarmos o teorema do confronto vamos lembrar a seguinte propriedade da função seno, temos que

- 1 ≤ s e n ( 1 x ) ≤ 1

note que o argumento é irrelevante para obter essa relação, funções seno sempre estão entre - 1 e 1 . Veja o que acontece se multiplicarmos tudo por x , temos que

- x ≤ x   s e n ( 1 x ) ≤ x

Avaliando o limite em toda a desigualdade, temos que

l i m x → 0 [ - x ] ≤ l i m x → 0 x   s e n ( 1 x ) ≤ l i m x → 0 x

Note que o limite que queríamos está bem no centro da desigualdade! Vamos ver como isso nos ajuda!

Passo 3

O teorema do confronto diz que se temos a seguinte situação

L ≤ l i m x → a f ( x ) ≤ L

então, necessariamente, temos que

l i m x → a f ( x ) = L

Note que

l i m x → 0 [ - x ] = l i m x → 0 x = 0

Portanto, temos que

0 ≤ l i m x → 0 x   s e n ( 1 x ) ≤ 0

nos garantindo que

l i m x → 0 x   s e n ( 1 x ) = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 0 x   s e n ( 1 x ) = 0

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