13. Demonstre que
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Precisamos demonstrar que
Ao substituirmos , ficamos com um . E não conseguimos calcular que valor é esse. Mas isso não será problema para a gente, pois vamos usar o Teorema do Confronto para resolver essa questão!
Para quem não lembra, o teorema diz o seguinte:
Se temos três funções onde,
E se os limites das funções da ponta são iguais,
Então o limite da função do meio será o igual
Agora vamos aplicar esse teorema para ficar mais claro e resolvermos a questão!
Passo 2
Galerinha, a gente precisa definir quais são as funções das pontas e a função do meio. Para isso, temos que lembrar que a função seno varia entre e . Ou seja
Mas no nosso limite o seno está no expoente. Então podemos dizer que:
Agora está mais parecida, mas para ficar igual precisamos multiplicar por . Fica assim:
Agora vamos calcular os limites das pontas. Se eles forem iguais, já teremos o limite da função do meio.
Passo 3
Começando por,
Agora vamos para função maior,
Opaaaa! Repara que,
Logo, pelo Teorema do Confronto, teremos que,
Prontinho!
Resposta
No texto.