13. Demonstre que

  1. lim x → 0 + ⁡ x e sin ⁡ π x = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Precisamos demonstrar que

lim x → 0 + ⁡ x e sin ⁡ π x = 0

Ao substituirmos 0 , ficamos com um sin ⁡ ∞ . E não conseguimos calcular que valor é esse. Mas isso não será problema para a gente, pois vamos usar o Teorema do Confronto para resolver essa questão!

Para quem não lembra, o teorema diz o seguinte:

Se temos três funções onde,

h x ≤ f x ≤ g x

E se os limites das funções da ponta são iguais,

lim x → a ⁡ h x = lim x → a ⁡ g x

Então o limite da função do meio será o igual

lim x → a ⁡ h x = lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x

Agora vamos aplicar esse teorema para ficar mais claro e resolvermos a questão!

Passo 2

Galerinha, a gente precisa definir quais são as funções das pontas e a função do meio. Para isso, temos que lembrar que a função seno varia entre - 1 e + 1 . Ou seja

- 1 ≤ sin ⁡ π x ≤ + 1

Mas no nosso limite o seno está no expoente. Então podemos dizer que:

e - 1 ≤ e sin ⁡ π x ≤ e + 1

Agora está mais parecida, mas para ficar igual precisamos multiplicar por x . Fica assim:

x e - 1 ≤ x e sin ⁡ π x ≤ x e + 1

Agora vamos calcular os limites das pontas. Se eles forem iguais, já teremos o limite da função do meio.

Passo 3

Começando por,

lim x → 0 + ⁡ x e - 1 = 0

Agora vamos para função maior,

lim x → 0 + ⁡ x e + 1 = 0

Opaaaa! Repara que,

lim x → 0 + ⁡ x e - 1 = lim x → 0 + ⁡ x e + 1 = 0

Logo, pelo Teorema do Confronto, teremos que,

lim x → 0 + ⁡ x e sin ⁡ π x = 0

Prontinho!

Resposta

No texto.

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