UFABC – Cálculo 1 – Lista 4 – 4
O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mole é:
em que s é medida em centímetros e t em segundos.
Mostre que . Interprete o significado desse limite.
Passo 1
E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?
Se a gente aplicar o limite diretamente, vamos ter uma inconsistência matemática, porque teríamos:
Então, o que a gente precisa fazer aqui é de alguma forma sair dessa indeterminação. Uma das alternativas mais práticas seria aplicar L’Hopital até que essa indeterminação caísse, mas vamos olhar pra uma outra técnica matemática chamado teorema do confronto. Essa técnica diz costuma ser muito usada quando temos problema de seno e cosseno.
Passo 2
Nossa função tem o seno ali no rolê, certo? E o que sabemos sobre a função seno é que, ela varia entre 1 e -1, correto?
Só que na nossa função o sen(t) tá multiplicado por um fator exponencial, certo? Então na nossa desigualdade ali em cima, vamos multiplicar geral por esse fator.
Agora sim vamos aplicar o limite de em geral!!!
Passo 3
Agora vamos resolver nossos limites das extremidades, beleza?
E isso que nós acabamos de usar foi o teorema do confronto, onde, uma vez que conhecemos o limite inferior e superior que uma determinada função pode ter, fazemos a desigualdade e depois vamos fazendo operações matemáticas até obtermos a função de interesse final, que no nosso caso foi . E por fim, fazemos os limites dessas funções que apareceram nos limites superiores e inferiores da desigualdade.
Portanto, pelo teorema do confronto temos que
Passo 4
A intepretação física desse problema é que, passado um tempo muito grande, o movimento da mola é contrabalanceado pela força de atrito pela qual ela está sujeita, ou seja, a energia que a mola tinha no início é contrabalanceada com o atrito que ela vai perdendo a cada ida e volta em seu movimento harmônico, até que, chega-se um ponto em que a energia é “”””consumida”””” pela força de atrito, e a mola para de se movimentar e volta ao seu estado original.