Considere as funções dadas por

E

1. Verifique se é contínua em
2. Verifique se é diferenciável em . Se sim, quanto vale ?

Mas você concorda comigo também que na função os valores de podem ser maiores ou menores que zero, então vamos dividir em dois intervalos para melhorar nossa análise:

Para , temos números positivos multiplicando os extremos desse intervalo:

Logo o valor da função fica entre os limites:

Para o intervalo , temos números negativos multiplicando os extremos desse intervalo, ou seja, isso vai mudar os sinais da desigualdade:

Parece estranho que a função seja maior que e menor que , mas lembre-se que é negativo.

Aplicando limites nessa relação, nós temos:

Fazendo o limite dos extremos:

Agora sabemos que a única opção que esse limite pode assumir é:

Agora vamos fazer o outro lado do limite? Vindo por números menores que zero:

Do mesmo jeito, vamos fazer os limites dos extremos:

De novo, o limite assume o valor:

Como os dois limites são o mesmo:

Então:

Mas temos que verificar que esse limite bate com o valor da função no ponto :

Logo, essa função é CONTÍNUA! Isso, vencedor, bora pro próximo item!

Na letra b, ele nos pergunta se a função é diferenciável no ponto e se for, ele que saber essa derivada nesse ponto. Vamos começar!

Vejamos que a função é definida por partes, uma para e outra para :

Primeiro, vemos que as duas partes são compostas por funções contínuas, então vemos que a função é contínua! Então podemos passa para o próximo passoVamos ter que encontrar os limites para quando se aproxima de pela esquerda e pela direita e ver se eles são iguais, se forem, então dizemos que a função é contínua!!

Primeiro, vamos encontrar o limite para:

Bom, como vimos no passo acima, pelo Teorema do Confronto, descobrimos que esse limite tem o valor igual a zero:

Por outro lado, o outro limite que devemos fazer é:

Substituindo o valor de , encontramos o limite igual a:

Logo, como os limites são iguais, então a função é contínua!

Para que uma função seja derivável, precisamos que ela cumpra dois requisitos, um é que seja contínua e o outro é que as derivadas laterais sejam iguais.Já vimos que a função é contínua, esse é o primeiro passo pra dizermos que é derivável. Mas pra função ser derivável, é preciso também que as derivadas laterais existam e sejam iguais. Como queremos descobrir se é ou não uma função derivável, agora que já descobrimos que ela é contínua, vamos ter que aplicar as derivadas laterais e verificar se elas são iguais, se forem, vamos correr para o abraço e gritar: DIFERENCIÁVEL!

Vamos derivar essas duas partes:

E

Como estamos trabalhando com seno na primeira parte, vamos usar a definição de derivada para calcular a derivada no ponto :

Aplicando essa definição para as duas partes:

Simplificando o numerador com o denominador:

Enquanto derivando a segunda parte, temos:

Simplificando o numerador com o denominador:

Então vemos que as derivadas laterais no ponto são iguais:

Logo, existe a derivada nesse ponto e ela vale: