UFSCAR – Cálculo 1 – P1 – Questão 3
Seja tal que , para todo . Mostre que e use-o para determinar
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela e resolver com você!
Primeiro temos uma função
Então (pela definição de módulo) podemos dizer que
Beleza?
Agora o problema pede para mostrarmos que
Isso tem cheiro sabe de que? Teorema do confronto! Sabe como identifiquei isso? Nossa função não está exatamente definida, ela pertence a um intervalo de funções. E o problema pediu para calcular o valor da função em um ponto
Como calcular uma função se não temos a expressão dela? Pelo teorema do confronto! Se os limites em um determinado ponto dos extremos da desigualdade forem iguais, então você terá o valor da função naquele ponto!
Beleza? E depois? Depois o problema pede para calcularmos a derivada em . Aí vamos precisar usar novamente o teorema! Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Já sabemos que nossa função está entre esses limites aqui
Agora queremos mostrar que . Bom, vamos então sanduichar! Aplicar o limite quando nas três partes da inequação
Tudo bem até aqui?
E agora? Agora vamos calcular os limites nos extremos!
Logo concluímos que
Passo 3
Usando o teorema do confronto de novo! Agora ao invés de apenas aplicar o limite na nossa desigualdade inicial, vamos aplicar o operador derivada nas três partes! E depois? Aplicar o limite quando !
Aplicando a derivada temos
Agora é derivar o que conhecemos! E chamar
Beleza?
E agora? Agora vamos usar o teorema de novo! Vamos sanduichar essa função com o limite quando tende a zero dos dois lados e calcular os limites
Isso significa que
Beleza? E é isso que temos para hoje! Bora fazer mais questões?