Mostre que lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x = 0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um limite e nos pede para mostrar que seu resultado é zero!

Mas e aí?? Como podemos resolver esse limite???

Ora ora!! Podemos utilizar o Teorema do Confronto!! Bora relembrar!!

Seguinte... sejam três funções reais f x ,   g ( x ) e h ( x ) definidas no domínio D ∈ R . E seja a um ponto dentro desse domínio. Então se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h ( x ) = L

Então só nos resta concluir que:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assim, temos que descobrir uma função maior e outra menor para podermos definir o valor do limite que nos foi dado!!

Ficou confuso? Então vamos juntos que você vai entender direitinho 😉

Passo 2

Seguinte... na função dada no enunciado, temos que o termo cos ⁡ 2 x varia entre - 1 e 1 a medida que alternamos o valor de x .

Assim, vemos que a multiplicação desse termo por x 4 será no mínimo - x 4 e no máximo + x 4 .

Dessa forma, já temos nossa função maior e nossa função menor. Então, matematicamente temos:

- x 4 ≤ x 4 cos ⁡ 2 x ≤ x 4

Passo 3

Assim, vemos que lim x → 0 ⁡ x 4 = lim x → 0 ⁡ - x 4 = 0 .

Portanto, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x = 0

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