Seja f uma função definida em ℝ e suponha que exista uma constante M > 0 tal que

|f(x) - f(p)| ≤ M |x - p|² ,

para todo x ∈ R .

(b) Calcule, caso exista, lim(x → p) (f(x) - f(p)) / (x - p)

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos apresenta uma função f definida nos reais tal que exista uma constante M > 0 , e obedeça a relação

| f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | 2

para todo x ∈ ℝ . Nesta alternativa, é pedido para que

( b ) Calcule, caso exista, l i m x → p f ( x ) - f ( p ) x - p

Para isso vamos lembrar que na alternativa anterior mostramos a continuidade desta função, ou seja, mostramos que

l i m x → p f ( x ) = f ( p )

Para calcularmos este limite, vamos analisar novamente o teorema do confronto, mas lembrando a definição dada no enunciado! Saca só!

Passo 2

Como fizemos na primeira alternativa, temos que

| f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | 2

usando propriedades do módulo, podemos escrever que

- M | x - p | 2 ≤ f ( x ) - f ( p ) ≤ M | x - p | 2

Agora, se dividirmos toda a desigualdade por | x - p | , note que precisamos que x ≠ p para poder fazer isso, mas como estamos avaliando o limite, nunca realmente chegamos na igualdade, então está tudo bem! Obtemos

- M | x - p | ≤ f ( x ) - f ( p ) | x - p | ≤ M | x - p |

Agora, para garantir que o limite exista, vamos ter que avaliar tanto o caso em que x > p (limite pela direita) e x < p (limite pela esquerda), vamos precisar usar algumas propriedades do módulo também!

Passo 3

Vamos fazer o limite pela direita primeiro, temos que

l i m x → p + [ - M | x - p | ] ≤ l i m x → p + [ f ( x ) - f ( p ) | x - p | ] ≤ l i m x → p + [ M | x - p | ]

nesta condições, temos que | x - p | > 0 , portanto, | x - p | = x - p , de maneira que a expressão acima se torna

- M l i m x → p + [ x - p ] ≤ l i m x → p + [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] ≤ M l i m x → p + [ x - p ]

Avaliando os limites, temos que

0 ≤ l i m x → p + [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] ≤ 0

o que nos garante que

l i m x → p + [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] = 0

Vamos ver se o limite pela esquerda é o mesmo agora!

Passo 4

Pela esquerda teremos agora o limite

l i m x → p - [ - M | x - p | ] ≤ l i m x → p - [ f ( x ) - f ( p ) | x - p | ] ≤ l i m x → p - [ M | x - p | ]

só que quando vamos pela esquerda, temos que x - p < 0 , portanto, é preciso usar a propriedade do módulo | x - p | = - ( x - p ) , de forma que o limite se torna

M l i m x → p - x - p ≤ - l i m x → p - [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] ≤ - M l i m x → p - [ x - p ]

vamos multiplicar toda a desigualdade por - 1 apenas por conveniência, mas note que isso inverte todas as desigualdades

M l i m x → p - x - p ≤ l i m x → p - [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] ≤ - M l i m x → p - [ x - p ]

Avaliando os limites, temos que

0 ≤ l i m x → p - [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] ≤ 0

e, portanto

l i m x → p - [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] = 0

uma vez que temos

l i m x → p + [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] = l i m x → p - [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] = 0

temos que o limite existe e é dado por 0 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → p + [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] = l i m x → p - [ f ( x ) - f ( p ) x - p ] = 0

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