USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Fernando Manfio - Lista 4, Questão 6b
Seja uma função definida em ℝ e suponha que exista uma constante tal que
,
para todo .
Calcule, caso exista,
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
O enunciado nos apresenta uma função definida nos reais tal que exista uma constante , e obedeça a relação
para todo . Nesta alternativa, é pedido para que
Calcule, caso exista,
Para isso vamos lembrar que na alternativa anterior mostramos a continuidade desta função, ou seja, mostramos que
Para calcularmos este limite, vamos analisar novamente o teorema do confronto, mas lembrando a definição dada no enunciado! Saca só!
Passo 2
Como fizemos na primeira alternativa, temos que
usando propriedades do módulo, podemos escrever que
Agora, se dividirmos toda a desigualdade por , note que precisamos que para poder fazer isso, mas como estamos avaliando o limite, nunca realmente chegamos na igualdade, então está tudo bem! Obtemos
Agora, para garantir que o limite exista, vamos ter que avaliar tanto o caso em que (limite pela direita) e (limite pela esquerda), vamos precisar usar algumas propriedades do módulo também!
Passo 3
Vamos fazer o limite pela direita primeiro, temos que
nesta condições, temos que , portanto, , de maneira que a expressão acima se torna
Avaliando os limites, temos que
o que nos garante que
Vamos ver se o limite pela esquerda é o mesmo agora!
Passo 4
Pela esquerda teremos agora o limite
só que quando vamos pela esquerda, temos que , portanto, é preciso usar a propriedade do módulo , de forma que o limite se torna
vamos multiplicar toda a desigualdade por apenas por conveniência, mas note que isso inverte todas as desigualdades
Avaliando os limites, temos que
e, portanto
uma vez que temos
temos que o limite existe e é dado por . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!