16)A função f é tal que para x ≠ 2 , f satisfaz 1 + 4 x - x 2 ≤ f x ≤ x 2 - 4 x + 9 . Calcule lim x → 2 ⁡ f ( x ) .

Passo 1

Eaí pessoal, tudo certinho com vocês?

Questãozinha de teorema do confronto (ou Teorema do Sanduíche, mas esse nome me dá fome), então vamos revisar rapidinho o que ele diz:

Se a gente tem 3 funções: h ,   f   e g . E for verdade que:

h x ≤ f x ≤ g ( x )

Então, também vale que:

lim x → p ⁡ h x ≤   lim x → p ⁡ f x ≤   lim x → p ⁡ g x    

Um detalhe importante é que, embora nessa questão o enunciado diga que a desigualdade entre as funções só é válida para x ≠ 2 , ainda podemos usar o teorema do confronto quando x tende a 2. Isso porque, de fato, trata-se de uma tendência, ou seja, o x se aproxima bastante mesmo de 2, mas não assume esse valor, de modo que a desigualdade entre as funções ainda vale. Sacou?

Passo 2

Usando o nosso teorema do confronto, temos que:

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9

lim x → 2 ⁡ 1 + 4 x - x 2 = 1 + 4 ⋅ 2 - 2 2 = 5 lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 9 = 2 2 - 4 ⋅ 2 + 9 = 5

Olha só que resultados interessantes, reescrevendo a desigualdade dos limites a gente chega a uma conclusão massa e bem recorrente em questões desse tipo:

5 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ 5

⇒ lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5

Prontinho! Conseguimos usar o teorema do confronto pra determinar o limite de f ( x ) .

Resposta

lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 5

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