1) Encontre, caso existam, os limites abaixo:

c) lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que verificar se o limite lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x existe ou não.

Parece complicado? 🤔

Perceba que a função do limite é composta pelo produto de um polinômio e uma função trigonométrica.

Nesse caso podemos aplicar o teorema do confronto para obter o resultado do limite.

O teorema do confronto é um método para calcular limites de funções que não podem ser obtidos diretamente por substituição ou manipulação algébrica. O teorema diz que se f , g e h são funções tais que h x ≤ f x ≤ g x para valores de x próximos de um número a , e se

lim x → a ⁡ h x = lim x → a ⁡ g x = L

Então lim x → a ⁡ f x = L também. Ou seja, se f é “espremida” entre h e g , e h e g têm o mesmo limite em a , então f também tem esse limite.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar comparando a função cos ⁡ 2 x ...

Sabemos que independentemente da função interna, o cosseno sempre varia entre - 1 e 1

- 1 ≤ cos ⁡ 2 x ≤ 1

Multiplicando todos os lados por x 4 , vamos obter

- x 4 ≤ x 4 cos ⁡ 2 x ≤ x 4

E por último, calculamos os limites quando x → 0

lim x → 0 ⁡ - x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 4

Aplicando os limites das extremidades temos

lim x → 0 ⁡ - x 4 = lim x → 0 ⁡ x 4 = 0

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x ≤ 0

Portanto, se lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x esta contida nesse intervalo, então

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 2 x = 0

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