Sejam a ,   b   ∈   R e assuma que a x   +   b ≤ x ² para todo x   ∈   R . Mostre que a   =   b   =   0

Passo 1

Faaala pessoal 😊, nesse exercício vamos nos pautar no teorema do confronto (ou teorema do sanduíche, para os mais íntimos kk).

i-

Galera, temos que a questão afirma a x   +   b ≤ x ² , em outras palavras temos:

- x 2 ≤ a x + b ≤ x ²

Dessa forma, se aplicarmos o limite com x → 0 :

lim x → 0 ⁡ - x ² ≤ lim x → 0 ( ax + b ) ⁡ ≤ lim x → 0 ⁡ x ²

- 0 ≤ b ≤ 0

Logo, b = 0

ii-

Se dividirmos por 1 x e sabendo que b = 0 :

- x ≤ a + 0 ≤ x

Aplicando o limite com x tendendo a zero:

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 a ⁡ ≤ lim x → 0 ⁡ x

- 0 ≤ a ≤ 0

Logo, a = 0

Finalizamos pessoal o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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