UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 4
Demonstre o Teorema da Comparação dado em salsa de aula: Sejam f e g funções tais que para , para algum Se o e existem, então .
Passo 1
Vamos laa
Vou demonstrar o Teorema da Comparação mencionada, usando a definição de limite.
O teorema diz o seguinte:
Teorema da Comparação:
Sejam funções tais que para algum .
Se e existem, então
Demonstração:
Suponha que e existem.
Queremos mostrar que .
Seja
Passo 2
Dado , pela definição de limite, existe tal que, se , então
Da mesma forma, existe tal que, se então
Agora, considere
Para
Dado que, podemos escrever:
Passo 3
Tomando o valor absoluto em ambos os lados:
E como temos:
Combinando as duas desigualdades:
Isso implica que o que por sua vez implica:
Passo 4
Ou seja, para temos .
Agora, usamos o fato de que o que nos leva a:
Portanto, para temos
Agora, observe que é menor ou igual a é maior ou igual a .
Portanto:
Ou seja, temos para
Isso mostra que , conforme desejado.
Portanto, o Teorema da Comparação está provado.
Resposta
Portanto, o Teorema da Comparação está provado.