Demonstre o Teorema da Comparação dado em salsa de aula: Sejam f e g funções tais que f x ≤ g ( x ) para 0 < x - x 0 < r , para algum r > 0 . Se o lim x → x 0 ⁡ f ( x ) e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) existem, então lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .

Passo 1

Vamos laa

Vou demonstrar o Teorema da Comparação mencionada, usando a definição de limite.

O teorema diz o seguinte:

Teorema da Comparação:

Sejam f   e   g funções tais que f x ≤   g ( x )   p a r a     0   <   | x   -   x _ 0 |   <   r , para algum r > 0 .

Se lim x → x 0 ⁡ f ( x ) e lim x → x 0 ⁡ g ( x )   existem, então lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → x 0 ⁡ g ( x )

Demonstração:

Suponha que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) existem.

Queremos mostrar que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .

Seja L f = lim x → x 0 ⁡ f ( x ) e   L g = lim x → x 0 ⁡ g ( x )

Passo 2

Dado   ϵ > 0   , pela definição de limite, existe   δ f > 0 tal que, se 0   <   | x   -   x 0 |   < δ f , então   | f ( x )   -   L f |   < ϵ .

Da mesma forma, existe δ g > 0 tal que, se   0 <   | x   -   x 0 | < δ g , então | g ( x )   -   L g | < ϵ .

Agora, considere δ = min ⁡ δ f ,   δ g .

Para   0   <   | x   -   x 0 | < δ ,   t e m o s   | f ( x )   -   L f | < ϵ   e     | g ( x )   -   L g |   < ϵ .

Dado que     f x ≤   g ( x ) , podemos escrever:

  f x -   L f ≤   g ( x )   -   L f

Passo 3

Tomando o valor absoluto em ambos os lados:

f x -   L f ≤   | g ( x )   -   L f

E como f x -   L f < ϵ   e   | g ( x )   -   L g |   < ϵ , temos:

| f ( x )   -   L f |   < ϵ

| g ( x )   -   L g |   < ϵ

Combinando as duas desigualdades:

  f x -   L f ≤   | g ( x )   -   L g |   < ϵ

Isso implica que f ( x )   -   L f < ϵ , o que por sua vez implica:

f ( x )   <   L f   + ϵ

Passo 4

Ou seja, para   0   <   | x   -   x 0 |   < δ , temos   f ( x )   <   L f   + ϵ .

Agora, usamos o fato de que | g ( x )   -   L g |   < ϵ , o que nos leva a:

  L g   - ϵ   <   g ( x )  

Portanto, para   0   <   | x   -   x _ 0 |   < δ , temos   L g   - ϵ   <   g ( x ) .

Agora, observe que   L f   + ϵ é menor ou igual a   L g   ( p o i s   f x ≤   g ( x ) ,   e   L g   - ϵ é maior ou igual a   L f .

Portanto:

  L f ≤   L f   + ϵ ≤   L g   - ϵ ≤   L g

Ou seja, temos   L f ≤   L g para   0   <   | x   -   x 0 |   < δ .

Isso mostra que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , conforme desejado.

Portanto, o Teorema da Comparação está provado.

Resposta

Portanto, o Teorema da Comparação está provado.

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