18) Sabendo que para x > 1 , f ( x ) satisfaz x - 1 2 < x 2 - 1 ⋅ f x < x + 1 2 , calcule lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) .

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão?

Essa questão tem toda a cara de teorema do confronto, mas ainda tá meio estranha porque do jeito que essa desigualdade está montada não conseguimos calcular o lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) diretamente. Mas tem uma ideia massa e simples que a gente pode usar.

Como estamos considerando x > 1 :

x - 1 2 < x 2 - 1 ⋅ f x

⇒ x - 1 2 x 2 - 1 < f x

(Isso só é verdade porque x > 1 ⇒ x 2 - 1 > 0 . Caso contrário, quando a gente passou o x 2 - 1 dividindo, teríamos que inverter o sinal.)

Fazendo o mesmo procedimento pro outro lado da desigualdade, temos que:

x 2 - 1 ⋅ f x < x + 1 2

⇒ f x < x + 1 2 x 2 - 1  

Juntando essas duas conclusões:

x - 1 2 x 2 - 1 < f x <   x + 1 2 x 2 - 1    

Aí sim!! Sacaram a ideia? É só uma manipulação matemática, e agora temos uma desigualdade que nos ajuda a determinar o lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) pelo teorema do confronto.

Passo 2

Seguindo o raciocínio do nosso teorema do sanduíche, vamos aplicar o limite na desigualdade:

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 2 x 2 - 1 ≤     l i m x → + ∞   f x ≤     l i m x → + ∞ x + 1 2 x 2 - 1    

Então:

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 2 x 2 - 1 =   l i m x → + ∞ x 2 1 - 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = 1   l i m x → + ∞ x + 1 2 x 2 - 1   =   l i m x → + ∞ x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2   = 1

Passo 3

Podemos então reescrever a desigualdade, de onde vem que:

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.