18) Sabendo que para x > 1 , f ( x ) satisfaz x - 1 2 < x 2 - 1 ⋅ f x < x + 1 2 , calcule lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) .

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão?

Essa questão tem toda a cara de teorema do confronto, mas ainda tá meio estranha porque do jeito que essa desigualdade está montada não conseguimos calcular o lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) diretamente. Mas tem uma ideia massa e simples que a gente pode usar.

Como estamos considerando x > 1 :

x - 1 2 < x 2 - 1 ⋅ f x

⇒ x - 1 2 x 2 - 1 < f x

(Isso só é verdade porque x > 1 ⇒ x 2 - 1 > 0 . Caso contrário, quando a gente passou o x 2 - 1 dividindo, teríamos que inverter o sinal.)

Fazendo o mesmo procedimento pro outro lado da desigualdade, temos que:

x 2 - 1 ⋅ f x < x + 1 2

⇒ f x < x + 1 2 x 2 - 1  

Juntando essas duas conclusões:

x - 1 2 x 2 - 1 < f x <   x + 1 2 x 2 - 1    

Aí sim!! Sacaram a ideia? É só uma manipulação matemática, e agora temos uma desigualdade que nos ajuda a determinar o lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) pelo teorema do confronto.

Passo 2

Seguindo o raciocínio do nosso teorema do sanduíche, vamos aplicar o limite na desigualdade:

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 2 x 2 - 1 ≤     l i m x → + ∞   f x ≤     l i m x → + ∞ x + 1 2 x 2 - 1    

Então:

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 2 x 2 - 1 =   l i m x → + ∞ x 2 1 - 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = 1   l i m x → + ∞ x + 1 2 x 2 - 1   =   l i m x → + ∞ x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2   = 1

Passo 3

Podemos então reescrever a desigualdade, de onde vem que:

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1

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