Calcule o limite ou justifique porque não existe:
Passo 1
Vamos começar sempre substituindo no limite:
Temos aqui uma indeterminação sacana. Então vamos ter que manipular um pouco o limite para poder chegar em algo mais concreto.
Repare lá que temos no numerador e no denominador. Então podemos tentar tirar um teorema do confronto daí.
Além disso, temos também e , substituindo isso, também podemos chegar num limite fundamental trigonométrico. Vamos então manipular o limite em cima dessas constatações. Vamos lá?
Passo 2
Para começar, vamos deixar e separados do restante do limite e abrir em outros limites:
Separando em três limites:
Vamos agora aplicar o teorema do confronto no limite mais à direita:
Multiplicando tudo por :
Aplicando o limite:
Logo, pelo teorema do confronto:
Passo 3
Legal, agora você pode pensar que, como o limite deu zero, então:
Isso nem sempre é verdade. Para confirmar se é ou não, precisamos ver se o primeiro limite dá o que geraria a indeterminação , por exemplo.
Então vamos calculá-lo. Veja que o que está dentro do seno está tendendo a zero quando :
Assim, podemos tentar fazer uma substituição simpática para chegar num limite fundamental trigonométrico. Podemos considerar:
Ai, nesse caso, quando :
Além disso, temos que:
Assim, substituindo:
Esse limite que apareceu é o limite fundamental trigonométrico, que é sempre . Assim:
Portanto:
Passo 4
Já acabou? Ainda não, mas estamos quase lá, te prometo. Ainda falta:
Podemos simplifica-lo “cortando” o . Assim:
Fazendo a mesma substituição do passo anterior:
Assim sendo:
Pronto!