16) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x

Passo 1

Eaí galerinha!

Mais um limite pra gente destruir!

Nesse caso, como x → ∞ e o s e n x é uma função limitada, dá pra perceber que vamos ter algo do tipo ∞ / ∞   . Isso significa que precisamos mexer um pouco na nossa expressão.

Passo 2

A ideia aqui é que como o x → ∞ , precisamos buscar um jeito de tirar ele da jogada. Nesses casos, costumamos colocar o x em evidência para que ele cancele no numerador e denominador. Fazendo isso, ficamos com:

lim x → ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x = lim x → ∞ ⁡ 1 - s e n x x 1 + s e n x x

Agora já melhorou demais!! Podemos então dizer que:

lim x → ∞ ⁡ 1 - s e n x x 1 + s e n x x = 1 - lim x → ∞ ⁡ s e n x x 1 + lim x → ∞ ⁡ s e n x x

Passo 3

Pra finalizar, devemos usar o teorema do anulamento para calcular o lim x → ∞ ⁡ s e n x x .

Esse teorema diz o seguinte:

Se f é uma função limitada e g é uma função tal que lim x → p ⁡ g ( x ) = 0 , então lim x → p ⁡ f ⋅ g = 0 .

Assim, sendo f x = s e n ( x ) e g x = 1 x , vemos que:

- f   é limitada, pois - 1 ≤ s e n x ≤ 1

- g tende a zero, quando x tende a infinito.

Logo, pelo teorema podemos afirmar que:

lim x → ∞ ⁡ s e n x x = 0

Daí, finalizamos com:

lim x → ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x = 1 - 0 1 + 0 = 1

Prontinho 😊

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x - s e n x x + s e n x = 1

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.