17) Seja f uma função limitada. Use o teorema do anulamento (é o corolário do teorema do confronto) para provar que lim x → 0 ⁡ x 2 f ( x ) = 0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bom?

O teorema do anulamento é uma consequência direta (corolário) do teorema do confronto. Ele diz o seguinte:

Se o lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = 0 e f ( x ) é uma função limitada, então:

lim x → x 0 ⁡ f ⋅ g = 0

Calma, isso tá parecendo um pouco jogado, mas faz bastante sentido. Pensa comigo:

Se f é limitada, é poque ela tem um valor mínimo e máximo na sua imagem, então vale que:

K m í n ≤ f x ≤ K M á x

Onde K m í n e K m á x são constantes reais que representam os valores mínimo e máximo de f , respectivamente.

Então a gente pode dizer também que:

g ⋅ K m í n ≤ g ⋅ f ≤ g ⋅ K m á x

Daí agora, pelo teorema do confronto, a gente pode aplicar os limites nessa desigualdade e teremos:

lim x → x 0 ⁡ g ⋅ K m í n ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ K m á x

Como K m í n e K m á x são constantes, podemos colocá-las para fora do limite:

K m í n ⋅ lim x → x 0 ⁡ g ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f ≤ K máx ⋅ lim x → x 0 ⁡ g

Mas lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = 0 . Opaa, finalmente chegamos a conclusão do teorema do anulamento:

0 ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f ≤ 0

⇒ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f = 0  

Passo 2

Agora que já sabemos tudo de teorema do anulamento, vamos resolver nossa questão tentando identificar quem seria g e f pelo teorema.

Bom, f vai ser o próprio f ( x ) da questão, pois ela é limitada.

Já o g ( x ) poderia ser o nosso x 2 né? Porque o lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 .

Massa então. Pelo teorema do anulamento, como f é uma função limitada e g x = x 2 é uma função tal que lim x → 0 ⁡ g ( x ) = 0 , a gente pode afirmar que:

lim x → 0 ⁡ g ⋅ f = lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ f x   = 0

Resposta

No texto.

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