3. Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de L ’ H ô s p i t a l ):

a) lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 1 x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, estamos interessados em calcular alguns limites, porém a única regra é que não podemos usar a regra de L ' H o p i t a l .

Entendeu?

A regra de L ' H o p i t a l nos ajuda muito quando temos uma indeterminação como resultado de um limite pelo método da substituição.

Porém existem alguns outros métodos que podemos aplicar a algumas analises matemáticas, com isso, vamos ter que analisar cada caso separadamente para ver qual é a melhor maneira de resolver o problema.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

O limite que temos que calcular é

lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 1 x

Como temos um produto de um polinômio com um seno, podemos usar o teorema do confronto. Veja só

O seno sempre varia de - 1 a 1 , correto? Ou seja

- 1 ≤ s e n 1 x ≤ 1

Mas se multiplicarmos todos os lados por x 2 , vamos obter

- x 2 ≤ x 2 s e n 1 x ≤ x 2

Então vemos que x 2 s e n 1 x está variando de - x 2 a x 2 , ou seja, é proporcional a x .

Logo, se aplicarmos o limite de x tendendo a 0 em todos os lados

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Podemos ver que

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Ou seja

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 1 x ≤ 0

lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 1 x = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 1 x = 0

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