2c) Calcule os limites abaixo ou prove que não existe (sem usar a Regra de L'Hospital).
Passo 1
Ô limite feio! Mas relaxa, vamos tirar de letra. Pra entender o resultado dele, vamos lembrar de uma propriedade importante do seno:
Pera, o que é ? Essa bolinha está aí só pra representar que o seno de qualquer coisa, até mesmo seno de bolinha, está sempre entre e . E bem, qualquer número que esteja entre e , ao quadrado, permanece entre esses números. Logo vamos ter:
Como queremos , então o intervalo será de 0 até 1.
Bem, a bolinha não pode ser qualquer coisa? Então se ...
E multiplicando tudo por temos:
Passo 2
Ok, mas e daí? O que eu faço com isso?:
Nota o seguinte, a função no interior é exatamente a mesma que a do limite que queremos calcular. Então pelo Teorema do Confronto, podemos aplicar o limite em todas as três funções:
E prontinho! Se meu limite está entre zero e zero então não tem jeito, ele é zero!