UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 4.3
Seja . Existe pertencente a tal que ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma função polinomial e tá perguntando se existe algum valor de no conjunto dos números reais tal que .
Quando a gente substitui na função e iguala a , vamos ter:
Então, pra existir um número real que satisfaça a condição de , a nossa nossa função () precisa ter raízes reais.
O Teorema de Bolzano nos garante, para uma função contínua, a existência de uma raiz na função, quando , se no intervalo .
Isso quer dizer que dentro de um intervalo existe um número que tem um correspondente , e esse nos fornece uma raiz quando o produto de e é negativo (menor do que zero). Calma, vamos dá uma olhadinha na representação do gráfico:
Repare que cruz o eixo quando . Observe que está dentro do intervalo e que é positivo e é negativo. Quando fazemos , temos um número negativo também. Poderia ser negativo e positivo, o produto também seria um número negativo. O importante é que quando ocorre essa mudança de sinal, a função passa pelo eixo e temos uma raiz ali.
Então, o que nós vamos fazer é chutar valores positivos e negativos para o a função (que por ser um polonômio já é uma função contínua) e verificar onde esse valores mudam de sinal () pra que possamos determinar a existência de uma raiz e consequentemente a existência do valor de .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar chutando na função :
Então, . Agora vamos chutar na função:
Logo, e temos uma raiz no intervalo .
Essa não é a única raiz da função, se continuarmos a chutar números vamos ver que existem outras raízes em e em ]. Mas com a existência de apenas uma raiz, já podemos dizer que existe um pertencente a tal que , satisfazendo nossa condição.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉