Calcule os limites abaixo:

b) lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = 1 - cos ⁡ x x 2 quando x se aproxima de 0 .

Pra calcular esse limite, o que nós vamos fazer é manipular a nossa função para que ela tenha o mesmo formato de um limite que nós conseguimos resolver por substituição direta ou com a cara de um limite fundamental que nós conhecemos o resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar multiplicando o limite lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 por 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x (que não altera a função):

1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ x

Da identidade 1 - cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x , temos:

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ x

Mas lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 = 1 , por definição. E lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x nós podemos resolver por substituição direta:

lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x = 1 1 + cos ⁡ 0 = 1 1 + 1 = 1 2

Logo,

lim x → 0 ⁡ sin 2 ⁡ x x 2 ∙ 1 1 + cos ⁡ x = 1 ∙ 1 2

= 1 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 1 2

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