Mostre que o conjunto

A = { x^2 + 1/x ; 1/2 ≤ x ≤ 2 }

admite um maior e um menor elemento. Você consegue calcular estes valores?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se existem máximos e mínimos dentro do conjunto e verificar se a gente consegue calculá-los.

O teorema de Weierstrass (ou teorema dos Valores Extremos) nos diz que se f é uma função contínua definida em um conjunto fechado e limitado D , então f tem valores extremos absolutos em D .

Então, vamos avaliar o conjunto com base no teorema de Weierstrass. Vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa é verificar se a nossa função f x = x 2 + 1 x é contínua no intervalo 1 2 ,   2 . Vamos olhar o gráfico da função:

Repare que no intervalo 1 2 ,   2 , nossa função é contínua. E a função também está em um conjunto fechado, que é nosso intervalo, então ela atende a todos os requisitos do teorema de Weierstrass.

Sendo assim, podemos afirmar que existem valores x 1 e x 2 em 1 2 ,   2 , tais que f ( x 1 ) é o valor mínimo de f no intervalo, e f ( x 2 ) o valor máximo de f nesse mesmo intervalo. Assim,

f x 2 = m á x x 2 + 1 x 1 2 ≤ x ≤ 2

f x 1 = m í n x 2 + 1 x 1 2 ≤ x ≤ 2

Nós podemos encontrar x 1 e x 2 , derivando a função f ( x ) e igualando o resultado a zero.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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