UFES, 2018.1, Lista 4, Q26
26) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho com vocês?
Essa questão nos traz um limite um pouco diferente, primeiro porque não temos a função seno, mas sim a função cosseno. E, também, porque o argumento, nesse caso, é que tende a quando . Isso tudo é como um sinal divino indicando que talvez, a ideia aqui não seja o limite fundamental trigonométrico.
Algo interessante a se perceber nessa questão, é que como o argumento do cosseno tende a quando , tentar resolver esse limite determinando o valor do cosseno é bem complicado. Até mesmo se usássemos alguma identidade trigonométrica pra fazer aparecer o seno, ainda não conseguiríamos dizer o seu valor exato.
Nesse tipo de situação, uma sacada legal é ver se a função é limitada para tentarmos usar o teorema do confronto ou o teorema do anulamento.
Passo 2
A nossa função à qual está sendo aplicado o limite é:
Bora dar uma olhada se o teorema do anulamento pode ser usado nesse caso. Lembrando o que ele diz:
Se é uma função limitada e tende a zero quando , então:
Vamos ver então se se encaixa nessas hipóteses:
- de fato, é limitada, pois vale que:
- tende a zero quando
Logo, obedece às hipóteses do teorema do anulamento, portanto: