1. Seja f uma função definida em R tal que

3 x - x 2 ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 ,     x ≠ 1

Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema nosso objetivo é calcular o limite de f para x → 1 .

f é definida entre duas outras funções dadas por g x = 3 x - x 2 e h x = x 2 - 1 x - 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😐

Dessa forma, como f é definida entre duas outras funções, o limite de f em x → 1 também será definido entre g x e h x .

Portanto, podemos dizer que

lim x → 1 ⁡ g x < lim x → 1 ⁡ f x < lim x → 1 ⁡ h x

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando os limites de g x e h x , temos

lim x → 1 ⁡ 3 x - x 2 = 2

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1

Aplicando a regra de L’Hopital no limite de h x , já que fazendo x = 1 em h x caímos em uma indeterminação 0 / 0 , temos

lim x → 1 ⁡ d x 2 - 1 d x d x - 1 d x → lim x → 1 ⁡ 2 x 1 = 2

Dessa forma, se lim x → 1 ⁡ f x está entre lim x → 1 ⁡ g x e lim x → 1 ⁡ h x e também lim x → 1 ⁡ g x = 2 e lim x → 1 ⁡ h x = 2

lim x → 1 ⁡ g x < lim x → 1 ⁡ f x < lim x → 1 ⁡ h x

2 < lim x → 1 ⁡ f x < 2

Então certamente

lim x → 1 ⁡ f x = 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → 1 ⁡ f x = 2

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