2. Seja f : R → R uma função que satisfaz - x 2 + 3 x ≤ f x ≤ x 2 - 1 x - 1 para todo x ≠ 1 . Calcule

lim x → 1 ⁡ f x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver esse limite, vamos aplicar o Teorema do confronto!

Para quem não lembra: imagine, então, que você quer calcular o limite de f ( x ) para x → a e você sabe que:

h x ≤ f x ≤ g x

Ou seja, f x está entre h x e g x . Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x → a ⁡ h x ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x = L

Com isso,

lim x → a ⁡ f x = L

Então vamos calcular os limites das pontas e encontrar o nosso L .

Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular

lim x → 1 ⁡ - x 2 + 3 x

Isso é igual a

lim x → 1 ⁡ - x 2 + 3 x = - 1 2 + 3 1 = 2

Passo 3

Agora vamos calcular

lim x - 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1

Repara que vamos cair em uma indeterminação do tipo 0 0 . Para sair dessa indeterminação, vamos rescrever esse limite.

Note que

x 2 - 1 = x + 1 x - 1

Logo,

lim x - 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x - 1 ⁡ x + 1 x - 1 x - 1

Simplificando

lim x - 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x - 1 ⁡ x + 1 = 2

Passo 4

Repara que

lim x → 1 ⁡ - x 2 + 3 x = lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = 2

Logo,

lim x → 1 ⁡ f x = 2

Resposta

2

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