5. Usando um Corolário do Teorema do Confronto, mostre que a função f(x) tem limite no ponto x = c nos seguintes casos:

(a) f(x) = x^4 * cos(2 / x) e c = 0

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que aplicar o teorema do confronto para a função f x = x 4 cos ⁡ 2 x , onde x tende a 0 .

E aí, como fazemos isso? 🤔

O limite de uma função é um conceito fundamental da matemática que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

O Teorema do Confronto é usado para avaliar o limite de uma função quando se aproxima de um valor a . A ideia do teorema é que, se conseguirmos encontrar duas funções g x e h x , ambas definidas em um intervalo que inclui a , tais que:

g x ≤ f x ≤ h x para todos os valores de x no intervalo, exceto possivelmente em a . Então:

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então, podemos concluir que:

lim x → a ⁡ f x = L

Esse teorema meu muito usado para limites de funções trigonométricas.

Legal, né? Bora começar! 😎

Passo 2

Sabemos que cos ⁡ x está contida entre - 1 e 1 , assim como cos ⁡ x 2 (o termo 1 2 dentro do cosseno está relacionado apenas a frequência)

- 1 ≤ cos ⁡ x 2 ≤ 1

Multiplicamos todos os lados por x 4 , vamos obter que

- x 4 ≤ x 4 cos ⁡ x 2 ≤ x 4

Dessa maneira, aplicando o limite para x tendendo a 0 em todos os lados, temos

lim x → 0 ⁡ - x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4

Calculando os limites dos extremos - x 4 e x 4 pelo método de substituição...

lim x → 0 ⁡ - x 4 = 0

lim x → 0 ⁡ x 4 = 0

Substituindo os resultados na inequação

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 ≤ 0

Dessa forma, certamente temos

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ x 2 = 0

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