USP – Cálculo I – IME – 2021.1 – Q2a
Calcule o limite
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Você se lembra qual é o primeiro passo que a gente tem que fazer quando temos uma questão de limite?
Então, antes da gente sair pensando já em fazer milhões de coisas, sempre precisamos testar o limite que o enunciado nos dá porque vai que dá bonitinho um resultado. Aí, se der alguma indeterminação, a gente vai e começar a queimar a cabeça pra pensar em maneiras de contornar a situação, show?
Passo 2
Vamos testar então o limite que o enunciado nos deu:
Opa, deu indeterminação, então agora vamos pensar em alguma estratégia pra tirar essa indeterminação.
Passo 3
Você tem ideia do que a gente pode fazer pra tentar tirar essa indeterminação?
Po, pensa aqui comigo, se eu dividir o numerador e denominador por , eu vou arrancar aquela dependência ali de e e vai sobrar apenas 6 e 2, o que não será mais influenciado por , certo? Mas vai acontecer um paranauê aí no meio do caminho que a gentre vai ver como resolver! Vem comigooo
Dividindo então por :
Passo 4
Tá, mas aí apareceu ali um no denominador, e agora, o que fazemos?!!!!
Vamos precisar aplicar o teorema do confronto, onde basicamente você pega uma função que você conhece os limite superiores e inferiores, e depois rearranja para que apareça o “pedaço” da função que está no seu limite principal.
Dividindo por , temos:
Aplicando o limite
Logo,
Passo 5
Mas tá, apareceu ali um outro treco que é o
Vamos chamar de , note que isso vai implicar dizer que:
Hummmm, isso tá com uma carinha de algo que conhecemos que é:
E esse último limite através de uma prova de um teorema tem um valor específico igual a 1
Portanto,