Seja f   :   R   →   R uma função satisfazendo f x ≤ x ² para todo x   ∈   R . Mostre que

lim x → 0 ⁡ f x = 0   e   lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = 0

Podemos dizer alguma coisa sobre lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² ?

Passo 1

Faaala pessoal 😊, nesse exercício vamos nos pautar no teorema do confronto (ou teorema do sanduíche, para os mais íntimos kk).

i-

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Galera, temos que a questão afirma f x ≤ x ² , em outras palavras temos:

- x 2 ≤ f x ≤ x ²

Dessa forma, se aplicarmos o limite com x → 0 :

lim x → 0 ⁡ - x ² ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x ²

- 0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

Logo, podemos confirmar lim x → 0 ⁡ f x = 0   via Teorema do confronto.

Passo 2

ii-

Pra provar lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = 0 é baba, reaproveitemos umas partes do passo 1:

- x 2 ≤ f x ≤ x ²

Multiplicando por 1 x :

- x ≤ f ( x ) x ≤ x

Aplicando novamente o limite:

- 0 ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ≤ 0

Logo confirmamos também que lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = 0 pelo Teorema do confronto

Passo 3

Por fim, lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² seria:

- x 2 ≤ f x ≤ x ²

Multiplicando por 1 x ² e aplicando o limite:

- 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² ≤ 1

Então não conseguimos valor exato para o limite.

Finalizamos galerinha 😊

Resposta

Resolução no texto.

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