UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profª Vera Lúcia - Lista 2, Questão 5
Demonstre o Corolário do Teorema do Confronto dado em sala de aula: Suponha e que existam satisfazendo . Então . [Sugestão: Use o Teorema do Confronto e o Exercício 3.]
Passo 1
Oieee, bora resolver essa comigo?
Vou demonstrar o Corolário do Teorema do Confronto usando o Teorema do Confronto, como sugerido.
Primeiro, vou enunciar o Corolário:
Corolário do Teorema do Confronto:
Suponha que e que existam satisfazendo .
Então, .
Demonstração:
Dado que , temos ,que é trivialmente verdadeiro.
Passo 2
Agora, como , podemos aplicar o Teorema do Confronto.
O Teorema do Confronto diz que se existe uma função tal que onde , então
Vamos aplicar o Teorema do Confronto com
Dado que (pois é constante), podemos concluir que:
E como podemos usar o Teorema do Confronto para concluir que:
Passo 3
Ou seja:
Como isso é verdadeiro, podemos afirmar que:
Agora, considerando a função temos:
Como são ambos não-negativos e é limitada por, podemos escrever:
Passo 4
Agora, usando o Teorema do Confronto novamente, aplicamos para concluir:
Portanto, o Corolário do Teorema do Confronto está demonstrado.
O uso do Teorema do Confronto permitiu estabelecer a relação entre as funções e, assim, concluir o limite
Resposta
Vide o passo a passo.