- Calcule, se existirem, os limites abaixo.
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Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão temos um limite para resolver. Vamos começar substituindo na função
Repara que caímos em um probleminha complicado, pois não conseguimos calcular seno e consseno de infinito. Mas fiquem tranquilos, pois vamos resolver essa questão aplicando o Teorema do Confronto ou Teorema do Sanduíche.
Ele diz o seguinte: . Imagine, então, que você quer calcular o limite de (será nosso recheio) para e você sabe que:
Ou seja, está entre e (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:
Se, por acaso, tivermos que:
Então,
Pois está entre as duas outras funções.
Mas antes de aplica-lo mas mexer um pouco nessa função!
Passo 2
Note que podemos colocar o em evidência. Fica assim
Repara que podemos cortar o , fica assim
Agora a ideia é substituir o na equação, mas ainda temos a função seno e cosseno ali. Então vamos montar o nosso limite assim,
Vamos calcular em separado!
Passo 3
Começando por,
Vamos olhar para função seno, que é uma função limitada entre:
Isso vale para qualquer valor de . Se multiplicarmos por e aplicarmos o limite ficaria assim::
Montamos o nosso sanduíche, agora vamos para o nosso limite! Fazendo , ficamos com:
Resolvendo os limites das pontas,
Com isso, segue que:
Passo 4
Aplicando o mesmo raciocinio para função cosseno, ficamos com
Vamos olhar para função cosseno, que é uma função limitada entre:
Isso vale para qualquer valor de . Se multiplicarmos por e aplicarmos o limite ficaria assim::
Montamos o nosso sanduíche, agora vamos para o nosso limite! Fazendo , ficamos com:
Resolvendo os limites das pontas,
Com isso, segue que:
Agora bora juntar tudo!
Passo 5
Estavamos com a seguinte situação:
Já calculamos os limites com as funções seno e cosseno e temos que:
Substituindo,
Logo,