Mostre que a equação tem pelo menos uma solução real.

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que aquele polinômio tem pelo menos uma solução dentro do conjunto dos números reais, quer dizer, ele tem pelo menos uma raiz real.

O Teorema de Bolzano nos garante, para uma função contínua, a existência de uma raiz na função, quando , se no intervalo .

Isso quer dizer que dentro de um intervalo existe um número que tem um correspondente , e esse nos fornece uma raiz quando o produto de e é negativo (menor do que zero). Calma, vamos dá uma olhadinha na representação do gráfico:

Repare que cruz o eixo quando . Observe que está dentro do intervalo e que é positivo e é negativo. Quando fazemos , temos um número negativo também. Poderia ser negativo e positivo, o produto também seria um número negativo. O importante é que quando ocorre essa mudança de sinal, a função passa pelo eixo e temos uma raiz ali.

Então, o que nós vamos fazer é chutar valores positivos e negativos para o a função (que por ser um polonômio já é uma função contínua) e verificar onde esse valores mudam de sinal () pra que possamos determinar a existência de uma raiz.

Vamos lá!