Mostre que a equação x 3 - 5 x 2 + 2 x + 1 = 0 tem pelo menos uma solução real.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que aquele polinômio tem pelo menos uma solução dentro do conjunto dos números reais, quer dizer, ele tem pelo menos uma raiz real.

O Teorema de Bolzano nos garante, para uma função contínua, a existência de uma raiz c na função, quando f c = 0 , se f a ∙ f b < 0 no intervalo [ a ,   b ] .

Isso quer dizer que dentro de um intervalo [ a ,   b ] existe um número c que tem um correspondente f ( c ) , e esse f c = 0 nos fornece uma raiz quando o produto de f ( a ) e f ( b ) é negativo (menor do que zero). Calma, vamos dá uma olhadinha na representação do gráfico:

Repare que c cruz o eixo x quando f c = 0 . Observe que c está dentro do intervalo [ a ,   b ] e que f a é positivo e f ( b ) é negativo. Quando fazemos f a ∙ f ( b ) , temos um número negativo também. Poderia ser f ( a ) negativo e f ( b ) positivo, o produto também seria um número negativo. O importante é que quando ocorre essa mudança de sinal, a função passa pelo eixo x e temos uma raiz ali.

Então, o que nós vamos fazer é chutar valores positivos e negativos para o a função x 3 - 5 x 2 + 2 x + 1 (que por ser um polonômio já é uma função contínua) e verificar onde esse valores mudam de sinal ( f a ∙ f b < 0 ) pra que possamos determinar a existência de uma raiz.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar chutando x = - 1 na função f x = x 3 - 5 x 2 + 2 x + 1 :

f - 1 = ( - 1 ) 3 - 5 ( - 1 ) 2 + 2 ( - 1 ) + 1

f - 1 = - 1 - 5 - 2 + 1 = - 7

Então, f - 1 < 0 . Agora vamos chutar x = 0 na função:

f 0 = ( 0 ) 3 - 5 ( 0 ) 2 + 2 ( 0 ) + 1

f 0 = 1

Então, f 0 > 0 . Fazendo f a = f ( - 1 ) e f b = f ( 0 ) , temos:

f a ∙ f b = f - 1 ∙ f ( 0 )

f - 1 ∙ f 0 = - 7 ∙ ( 1 )

f - 1 ∙ f 0 = - 7

Como f - 1 ∙ f 0 < 0 , podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo - 1 ,   0 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E x i s t e   p e l o   m e n o s   u m a   r a i z   r e a l   e m   [ - 1 ,   0 ]

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