Considere uma função satisfazendo
Para todo . Calcule, para essa função,
Passo 1
Essa relação que foi dada pode ser escrita como
Vamos começar encontrando
Como
Teremos, pelo teorema do sanduíche,
Passo 2
Pelas propriedades de limite
Como estamos fazendo
Passo 3
Vamos agora calcular
Como, neste caso, o está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar da técnica de colocar a maior potência de em evidência em cima e embaixo, tanto no denominador quanto no numerador:
Pelas propriedades de limite
Com isso,
Passo 4
Vamos agora calcular
Como
As contas vão ser iguais a do limite que calculamos ali em cima, só tendo uma pequena diferença, como estamos fazendo
Vamos ter então
Passo 5
Vamos agora calcular
Como, neste caso, o está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar de uma técnica que consiste de colocar a maior potência de em evidência, tanto no denominador quanto no numerador:
Pelas propriedades de limite
Portanto,