46. Calcule.

d) lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x .

Pra isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que diz que se temos as funções g x ,   f x e h ( x ) e temos que:

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h x = L

E:

g x ≤ f x ≤ h x

Então, resulta destas condições que:

lim x → a ⁡ f x = L

Passo 2

Repara que no meio da função temos um seno. Como seno varia de -1 a 1, ficamos com:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Agora multiplicamos cada parte por x :

- x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x

E aplicamos o limite com x tendendo a zero:

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

Calculando os limites mais de fora temos:

lim x → 0 ⁡ - x = - 0

= 0

lim x → 0 ⁡ x = 0

Então:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x ≤ 0

E pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x = 0

Resposta

0

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