UFES, 2018.1, Lista 5, Q17
16) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Olá pessoal, tudo certinho?
Temos mais uma questão de limites, e primeiro precisamos pensar o que acontece quando . Porque às vezes fica algo como que nos dá o resultado logo de cara. Nesse caso:
Assim, devemos ter algo como e precisamos pensar mais.
Passo 2
O que está fazendo tanto o numerador como denominador explodirem pro infinito são os termos e , respectivamente. Então devemos colocar a maior potência de em evidência. Esse é um passo muito comum em questões desse tipo e importante da gente ter sempre em mente. Fazendo isso temos que:
Beleza, isso é um resultado muito bom. Porque agora, aplicando o limite vamos ter que:
Lembrando que só podemos separar os limites assim, porque cada um deles existe separadamente e é finito.
Passo 3
Vamos calcular cada um desses limites separadamente.
Esse foi mais tranquilo. Para calcular o próximo limite, vamos relembrar o teorema do anulamento:
Se é uma função limitada e é uma função tal que , então
Assim, sendo e , vemos que:
- é limitada, pois
- tende a zero, quando tende .
Logo, pelo teorema podemos afirmar que:
Então, temos que:
Passo 4
Finalizando, concluímos que: