16) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → - ∞ ⁡ x 2 s e n x - 1 x 3 + 1

Passo 1

Olá pessoal, tudo certinho?

Temos mais uma questão de limites, e primeiro precisamos pensar o que acontece quando x →   - ∞ . Porque às vezes fica algo como 0 / ∞ que nos dá o resultado logo de cara. Nesse caso:

x →   - ∞ ⇒ x 2 →   + ∞ x 3 →   - ∞

Assim, devemos ter algo como ∞ / ∞ e precisamos pensar mais.

Passo 2

O que está fazendo tanto o numerador como denominador explodirem pro infinito são os termos x 2 e x 3 , respectivamente. Então devemos colocar a maior potência de x em evidência. Esse é um passo muito comum em questões desse tipo e importante da gente ter sempre em mente. Fazendo isso temos que:

x 2 s e n x - 1 x 3 + 1 = x 3 s e n x x - 1 x 3 x 3 1 + 1 x 3 = s e n x x - 1 x 3 1 + 1 x 3  

Beleza, isso é um resultado muito bom. Porque agora, aplicando o limite vamos ter que:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 s e n x - 1 x 3 + 1 = lim x → - ∞ ⁡ s e n x x - 1 x 3 lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 3  

Lembrando que só podemos separar os limites assim, porque cada um deles existe separadamente e é finito.

Passo 3

Vamos calcular cada um desses limites separadamente.

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 3 = 1 + 0 = 1

Esse foi mais tranquilo. Para calcular o próximo limite, vamos relembrar o teorema do anulamento:

Se f é uma função limitada e g é uma função tal que lim x → p ⁡ g x = 0 , então lim x → p ⁡ f ⋅ g = 0

Assim, sendo f x = s e n ( x ) e g x = 1 x , vemos que:

- f   é limitada, pois - 1 ≤ s e n x ≤ 1

- g tende a zero, quando x tende - ∞ .

Logo, pelo teorema podemos afirmar que:

lim x → - ∞ ⁡ s e n x x = 0

Então, temos que:

lim x → - ∞ ⁡ s e n x x - 1 x 3 = lim x → - ∞ ⁡ s e n x x - lim x → - ∞ ⁡ 1 x 3 = 0 - 0 = 0

Passo 4

Finalizando, concluímos que:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 s e n x - 1 x 3 + 1 =   lim x → - ∞ ⁡ s e n x x - 1 x 3 lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 3   = 0 1 = 0    

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 2 s e n x - 1 x 3 + 1 = 0

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