2. Seja f uma função definida em R tal que f x - 3 ≤ 2 x - 1 , para todo x ∈ R . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Temos f dada pela inequação f x - 3 ≤ 2 x - 1 e nosso objetivo é calcular lim x → 1 ⁡ f x .

Parece complicado? 👀

A ideia é isolar f x e com isso vamos encontrar f sendo definida entre duas funções, assim, calculando o limite de dessas outras funções podemos encontrar o limite de f .

g x < f x < h x → lim x → 1 ⁡ g x < lim x → 1 ⁡ f x < lim x → 1 ⁡ h x

Sacou? Bora começar! 😐

Passo 2

Primeiro vamos manipular a inequação f x - 3 ≤ 2 x - 1 para isolar f .

Tirando o módulo e somando 3 em todos os lados...

- 2 x - 1 < f x - 3 < 2 x - 1

- 2 x + 2 + 3 < f x - 3 + 3 < 2 x - 2 + 3

- 2 x + 5 < f x < 2 x + 1

Assim, encontramos que g x = - 2 x + 5 e h x = 2 x + 1 .

Calculando os limites dessas funções em x → 1 , chegamos em

lim x → 1 ⁡ g x = lim x → 1 ⁡ - 2 x + 5 = 3

lim x → 1 ⁡ h x = lim x → 1 ⁡ 2 x + 1 = 3

Assim, se g x < f x < h x , então certamente

lim x → 1 ⁡ g x < lim x → 1 ⁡ f x < lim x → 1 ⁡ h x

3 < lim x → 1 ⁡ f x < 3

lim x → 1 ⁡ f x = 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → 1 ⁡ f x = 3

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