Use o Teorema do Confronto para mostrar que

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π 2 = 0

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e pede para provarmos que o limite apresentado é igual a zero utilizando o Teorema do Confronto.

Mas e aí, o que é esse Teorema??

Seguinte... sejam três funções reais f x ,   g ( x ) e h ( x ) definidas no domínio D ∈ R . E seja a um ponto dentro desse domínio. Então se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h ( x ) = L

Então só nos resta concluir que:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assim, temos que descobrir uma função maior e outra menor para podermos definir o valor do limite que nos foi dado!!

Ficou confuso? Então vamos juntos que você vai entender direitinho 😉

Passo 2

Seguinte... na função dada no enunciado, temos que o termo sen ⁡ π 2 varia entre - 1 e 1 a medida que alternamos o valor de x .

Assim, vemos que a multiplicação desse termo por x 3 + x 2 será no mínimo - x 3 + x 2 e no máximo x 3 + x 2 .

Dessa forma, já temos nossa função maior e nossa função menor. Então, matematicamente temos:

- x 3 + x 2 ≤ x 3 + x 2 sen ⁡ π 2 ≤ x 3 + x 2

Passo 3

No entanto, vemos que lim x → 0 ⁡ - x 3 + x 2 = lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 = 0 .

Portanto, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π 2 = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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