USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 23b
Calcule as integrais:
(b) , onde é a parte da bola unitária contida no primeiro octante.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla sobre a região , que é uma parte da bola unitária no primeiro octante. Ou seja, é uma parte dessa esfera aí:
Então, temos uma esfera de raio menor ou igual a e nada mais justo que usar as coordenadas esféricas pra nos ajudar, certo? Elas são dadas pelas relações:
No caso da esfera, ela vai ser escrita por:
Onde é o raio da esfera, então para a bola , vamos ter . Esses vão ser os limites de integração da integral tripla que vamos calcular.
Vamos lá!
Passo 2
Como a gente já determinou nossos limites de integração no passo anterior, vamos agora dar uma olhadinha no nosso integrando, , e colocar ele em coordenadas esféricas:
Elevando ao quadrado:
Passo 3
Agora podemos montar nossa integral:
Usando e o integrando que encontramos no passo anterior, junto com o Jacobiano , temos:
Integrando primeiro em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Vamos colocar a constante do lado de fora da integral e integrar em relação a :
Antes de integrar, vamos substituir a identidade :
Integrando:
Aplicando os limites de integração em :
Passo 5
Agora, antes de integrar em relação a , vamos precisar fatorar nosso integrando e usar a identidade trigonométrica :
Isso vai facilitar pra gente integrar usando a substituição:
Fica assim:
Aí já dá pra gente integrar usando as regrinhas do polinômio:
Antes de aplicar o intervalo, precisamos voltar pra nossa variável original :
Agora sim, aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉