USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 23c
Calcule as integrais:
(c) , onde é a região interior ao cone e à esfera .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral tripla sobre a região , que é interior cone e à esfera de raio . Então, vamos precisar das coordenadas esféricas, que são dadas pelas relações:
Como a região é interior ao cone, ela vai variar de até . A mesma coisa pra esfera, porque nosso raio tá variando de até . Como o ângulo não tem restrições, ele vai variar de a . Então, nossa região é dada por:
Esses vão ser os limites de integração da integral tripla que vamos calcular.
Vamos lá!
Passo 2
Como a gente já determinou nossos limites de integração no passo anterior, vamos agora dar uma olhadinha no nosso integrando, , e colocar ele em coordenadas esféricas:
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência e agrupando os termos:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
E a gente pode aplicar a identidade novamente, . Então, temos:
Passo 3
Agora podemos montar nossa integral:
Usando e o integrando que encontramos no passo anterior, junto com o Jacobiano , temos:
Integrando primeiro em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Vamos colocar a constante do lado de fora da integral e integrar em relação a :
Integrando:
Aplicando os limites de integração em :
Integrando em relação a :
Agora aplicando os limites de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉