UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 1.1b
Calcule:
Passo 1
Ooi gente, tudo bem?
Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:
O passo inicial nas questões de limites é sempre tentar substituir o valor que está tendendo e verificar se já conseguimos determinar pra onde o limite está tendendo, ou se caímos em algum absurdo matemático.
Nesse caos, como , não dá pra substituir, mas vamos fazer uma análise.
Quando , o termo:
Analogamente, o termo:
Daí, quando fazemos a subtração, ficamos com algo do tipo:
E, não conseguimos determinar o resultado dessa operação...Puts, vamos precisar pensar um pouco mais então!
Vem com a gente 😊
Passo 2
A ideia principal aqui é fazermos o processo inverso ao da racionalização, para tirarmos essa indeterminação do numerador e jogar uma soma no denominador.
Para isso vamos usar um produto notável bem interessante dos polinômios cúbicos:
Nesse caso, vamos chamar:
Daí, temos:
Manipulando lado esquerdo dessa expressão, temos:
Daí, ficamos com:
Esse primeiro termo do lado direito é justamente àquele em que estamos aplicando o limite. Isolando-o, vem que:
Excelente! Removemos a subtração que trazia a indeterminação no numerador e deixamos apenas somas no denominador! Hora de aplicar o limite novamente.
Passo 3
Vamos aplicar o limite usando a nossa nova expressão, ou seja:
Então pessoal, no denominador temos a seguinte expressão:
Quando essa expressão também vai tender ao infinito, pois só temos termos dependentes de sendo somados.
Daí, o limite que estamos calculando é um número constante no numerador dividido por um número muito grande no denominador.
Logoo, esse limite é nulo.
Curtiram a solução? Responde Aí!