Calcule o limite

lim x→∞ (1 + 3 * x) / 2 * (1 / x)

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular o limite da função quando x tende a infinito. Nesse limite, temos que o expoente da função 1 x vai a zero, mas o argumento 1 + 3 x 2 vai a infinito. Portanto, temos uma indeterminação. No entanto, temos que qualquer exponencial pode ser escrita na base e como

a b = e b l n ( a )

Então, temos que a função f(x) pode ser escrita como

f ( x ) = e 1 x l n 1 + 3 x 2

Temos agora uma indeterminação no expoente da exponencial: uma divisão de dois números tendendo a infinito:

1 x l n 1 + 3 x 2

Então, agora podemos usar a regra de L’Hospital para calcular o limite dessa indeterminação. Então bora lá!

Passo 2

Da regra de L’Hospital, temos que para calcular o limite da expressão 1 x l n 1 + 3 x 2 , precisamos derivar o numerador e o denominador para tentar remover a indeterminação. Como o denominador é apenas a função x, e sua derivada é 1, vamos nos preocupar apenas com o numerador. Derivando a função ln pela regra da cadeia, obtemos

2 1 + 3 x 1 2 d d x 3 x

Mais uma vez, escrevendo 3 x na base e, temos 3 x = e x l n ( 3 ) . Derivando isso em relação à x, encontramos

d d x e x l n ( 3 ) = l n ( 3 ) e x l n ( 3 ) = 3 x l n ( 3 )

Então, a regra de L’Hospital nos dá

l i m x → ∞ 2 1 + 3 x 1 2 3 x l n ( 3 ) = 3 x l n ( 3 ) ( 1 + 3 x )

Colocando 3 x em evidência no denominador obtemos:

l i m x → ∞ 3 x l n ( 3 ) 3 x 1 3 x + 1 = l i m x → ∞ l n ( 3 ) 1 3 x + 1

Como para x tendendo a infinito, 1 3 x → 0 , temos que o limite da expressão acima é l n ( 3 ) . Portanto, o limite da nossa função, que é simplesmente a exponencial do resultado acima, é:

l i m x → ∞ 1 + 3 x 2 1 x = l i m x → ∞ e 1 x l n 1 + 3 x 2 = e l n ( 3 ) = 3

Resposta

l i m x → ∞ 1 + 3 x 2 1 x = 3

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