UFSC, Sem Campus, Cálculo 1, Provas Profº Saeger - P3 2016.1, Questão 6
Calcule o limite
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão pede para a gente calcular o limite da função quando x tende a infinito. Nesse limite, temos que o expoente da função vai a zero, mas o argumento vai a infinito. Portanto, temos uma indeterminação. No entanto, temos que qualquer exponencial pode ser escrita na base e como
Então, temos que a função f(x) pode ser escrita como
Temos agora uma indeterminação no expoente da exponencial: uma divisão de dois números tendendo a infinito:
Então, agora podemos usar a regra de L’Hospital para calcular o limite dessa indeterminação. Então bora lá!
Passo 2
Da regra de L’Hospital, temos que para calcular o limite da expressão , precisamos derivar o numerador e o denominador para tentar remover a indeterminação. Como o denominador é apenas a função x, e sua derivada é 1, vamos nos preocupar apenas com o numerador. Derivando a função ln pela regra da cadeia, obtemos
Mais uma vez, escrevendo na base e, temos . Derivando isso em relação à x, encontramos
Então, a regra de L’Hospital nos dá
Colocando em evidência no denominador obtemos:
Como para x tendendo a infinito, , temos que o limite da expressão acima é . Portanto, o limite da nossa função, que é simplesmente a exponencial do resultado acima, é: