UnB – Cálculo 1 – Lista de Exercícios 4 – Questão 6j
Calcule os limites abaixo
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Precisamos avaliar o limite dessa função aqui
Quando , a raiz explode para , mas o termo vai para . Mas qual infinito é maior? Será que um é muito maior do que o outro? Será que dá zero? Um número?
Quando temos algo do tipo isso significa que temos uma indeterminação!
E para sair de indeterminações envolvendo raiz, precisamos racionalizar! Isso mesmo, vamos racionalizar o numerador e avaliar novamente o limite!
#alertatruquesujo
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
O limite que vamos analisar é esse aqui
E como comentei ali em cima, vamos racionalizar o numerador: multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado do termo com a raiz. O objetivo é manipular essa função até que a indeterminação seja levantada
E agora vamos simplificar:
Sacou? Com essa manipulação nos livramos daquela diferença de infinitos!
Bora avaliar esse limite de novo?
Passo 3
Vamos agora analisar novamente nosso limite, que era assim
E agora está assim:
Quando tende a , o denominador
Tudo bem até aqui? E o numerador? TAMBÉM!
Chegamos em uma NOVA indeterminação, mas agora é do tipo . Então precisamos manipular NOVAMENTE a função para levantar essa indeterminação!
Quando temos esse tipo aqui de indeterminação
precisamos manipular a função para levantar a indeterminação. Mas qual caminho seguir?
Vem comigo!
Sempre que tivermos uma razão de polinômios, vamos identificar o termo dominante (de maior potência) e colocar ele em evidência, tanto em cima quanto embaixo, e avaliar o limite.
Assim, qualquer termo que tenha vai à zero (para ) e ficamos com o comportamento a função no infinito!
Então bora lá!
Passo 4
Precisamos avaliar esse limite aqui agora
O termo dominante é o , então valos colocar ele em evidência (atenção aqui para colocar em evidência o termo dentro da raiz)
Agora vamos avaliar novamente (e esperamos que última vez) esse limite:
O termo , então em cima sobra o e embaixo
Daí temos
Assim nosso limite é
E é isso!
Espero ter ajudado! Até a próxima!