Calcule os limites indicados abaixo, utilizando as propriedades de limite:

c )   l i m x → + ∞ 3 x 2 + 9 x + 2 7 - x - x 2 d ) l i m x → 4 x 2 - 16 x 2 - 5 x + 4

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Precisamos estimar os seguintes limites

c )   l i m x → + ∞ 3 x 2 + 9 x + 2 7 - x - x 2 d ) l i m x → 4 x 2 - 16 x 2 - 5 x + 4

cada limite usa uma técnica diferente, portanto, vamos avaliar caso a caso! A primeira coisa que costumamos tentar é avaliar o limite no valor indicado, já adianto que no primeiro teremos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e o segundo teremos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , portanto, vamos direto ao ponto e tentar reescrever cada um deles para desaparecer com essa indeterminação! Vem comigo!

Passo 2

Vamos fazer primeiro o limite

l i m x → + ∞ 3 x 2 + 9 x + 2 7 - x - x 2

ele tem uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ quando avaliamos x → + ∞ , portanto, precisamos reescrever um pouco o nosso limite! Quando temos limites no infinito de razões de polinômios é sempre conveniente dividir o numerador e denominador pelo termo de maior ordem, em nosso caso x 2 , portanto, temos que

l i m x → + ∞ 3 x 2 + 9 x + 2 7 - x - x 2 = l i m x → + ∞ 3 x 2 / x 2 + 9 x / x 2 + 2 / x 2 7 / x 2 - x / x 2 - x 2 / x 2 = l i m x → + ∞ 3 + 9 / x + 2 / x 2 7 / x 2 - 1 / x - 1

Como temos que infinito é a representação de um número muuuuito grande! Temos que as razões com infinito no denominador tendem a zero, portanto, temos que

l i m x → + ∞ 3 + 9 / x + 2 / x 2 7 / x 2 - 1 / x - 1 = 3 + 0 + 0 0 - 0 - 1 = - 3

O primeiro limite já foi! Vamos para o próximo!

Passo 3

Temos o seguinte limite

l i m x → 4 x 2 - 16 x 2 - 5 x + 4

Temos o problema da indeterminação 0 / 0 quando x = 4 . Portanto, precisamos reescrever um pouco essa razão! Temos que o numerador pode ser escrito como

x 2 - 16 = ( x - 4 ) ( x + 4 )

O denominador no entanto não é tão trivialmente separável, mas como o objetivo é procurar algo que simplifique com o numerador, vamos procurar algo do tipo

( x + a ) ( x ± 4 ) = x 2 ± ( 4 + a ) x ± 4 a

Comparando com o nosso polinômio, podemos escolher a como

± ( 4 + a ) = - 5

em que podemos identificar que a + = - 9 ou a - = - 1 . Note que para a - = - 1 , obtemos de volta

( x - 1 ) ( x - 4 ) = x 2 - 4 x - x + 4 = x 2 - 5 x + 4

Portanto, nosso limite será

l i m x → 4 x 2 - 16 x 2 - 5 x + 4 = l i m x → 4 ( x - 4 ) ( x + 4 ) ( x - 1 ) ( x - 4 ) = l i m x → 4 ( x + 4 ) ( x - 1 )

Ou, avaliando em x = 4 , obtemos

l i m x → 4 ( x + 4 ) ( x - 1 ) = l i m x → 4 ( 4 + 4 ) ( 4 - 1 ) = 8 3

A questão foi isso! Tchau Tchau! Até a próxima!

Resposta

c )   l i m x → + ∞ 3 x 2 + 9 x + 2 7 - x - x 2 = - 3 d ) l i m x → 4 x 2 - 16 x 2 - 5 x + 4 = 8 / 3

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