5. Calcule os seguintes limites no infinito:

a) lim x → + ∞ ⁡ 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que calcular o limite da função 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9 para x tendendo ao infinito.

Parece complicado? 😬

A princípio, se substituirmos x por diretamente íamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Nesses casos, podemos imaginar que a melhor solução é aplicar a regra de L ' H o p i t a l , porém nosso grau dos polinômios no numerador e no denominador são muito grandes, então teríamos que aplicar o a regra muitas vezes até obter um resultado...

Com isso temos que aplicar algum outro método nesse caso, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Passo 2

A função f x é dada por

f x = 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9

Então, uma coisa que podemos fazer é dividir o numerador e o denominador por x 99 , ou seja

f x = 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9 = 99 x 99 + 9 x 99 9 x 99 + 9 x 99 = 99 + 9 x 99 9 + 9 x 99

Aplicando o limite em 99 + 9 x 99 9 + 9 x 99 , temos

lim x → + ∞ ⁡ 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9 = lim x → + ∞ ⁡ 99 + 9 x 99 9 + 9 x 99 = 99 + 9 ∞ 99 9 + 9 ∞ 99

Nos termos 9 ∞ 99 temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número extremamente grande, ou seja, o resultado dessa divisão tende a 0

lim x → + ∞ ⁡ 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9 = lim x → + ∞ ⁡ 99 + 9 x 99 9 + 9 x 99 = 99 + 0 9 + 0

lim x → + ∞ ⁡ 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9 = 99 9

lim x → + ∞ �� 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9 = 11

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 99 x 99 + 9 9 x 99 + 9 = 11

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