5. Calcule os seguintes limites no infinito:

b) lim x → - ∞ ⁡ x + 9 9 x - 9 99

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que calcular o limite da função x + 9 9 x - 9 99 para x tendendo a infinito negativo.

Parece complicado? 😬

A princípio, se substituirmos x por diretamente íamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Nesses casos, podemos imaginar que a melhor solução é aplicar a regra de L ' H o p i t a l , porém nosso grau dos polinômios no numerador e no denominador são muito grandes, então teríamos que aplicar o a regra muitas vezes até obter um resultado...

Com isso temos que aplicar algum outro método nesse caso, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Passo 2

O que temos que fazer é manipular a função para facilitar nossos cálculos...

f x = x + 9 9 x - 9 99

Colocando x em evidência em cima e em baixo

f x = x 1 + 9 x 9 x 1 - 9 x 99 = x 9 1 + 9 x 9 x 99 1 - 9 x 99

Simplificando x 9 / x 99

f x = 1 + 9 x 9 x 9 0 1 - 9 x 99

f x = 1 x 90 · 1 + 9 x 9 1 - 9 x 99

Agora, se aplicarmos o limite fazendo x → - ∞ , temos que os termos 9 x vão tender a 0 j�� que temos uma fração cujo numerador é relativamente pequeno e o denominador é muito grande.

Dessa forma, o mesmo acontece com 1 x 90 , portanto, calculando o limite de f x , temos

lim x → - ∞ ⁡ x + 9 9 x - 9 99 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 90 · 1 + 9 x 9 1 - 9 x 99 = 1 - ∞ 90 · 1 + 9 - ∞ 9 1 - 9 - ∞ 99

lim x → - ∞ ⁡ x + 9 9 x - 9 99 = 0 · 1 + 0 9 1 - 0 99

lim x → - ∞ ⁡ x + 9 9 x - 9 99 = 0

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x + 9 9 x - 9 99 = 0

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