5. Calcule os seguintes limites no infinito:

c) lim x → + ∞ ⁡ x 96 + 1 x 69 + 1

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que calcular o limite da função x 96 + 1 x 69 + 1 para x tendendo a infinito.

Parece complicado? 😬

A princípio, se substituirmos x por diretamente íamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Nesses casos, podemos imaginar que a melhor solução é aplicar a regra de L ' H o p i t a l , porém nosso grau dos polinômios no numerador e no denominador são muito grandes, então teríamos que aplicar o a regra muitas vezes até obter um resultado...

Com isso temos que aplicar algum outro método nesse caso, tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Passo 2

O que temos que fazer é manipular a função para facilitar nossos cálculos...

f x = x 96 + 1 x 69 + 1

Se dividirmos o numerador e o denominador pelo termo de maior grau de x no denominador, temos

f x = x 96 + 1 x 69 + 1 = x 96 + 1 x 69 x 69 + 1 x 69 = x 96 x 69 + 1 x 69 x 69 x 69 + 1 x 69

Simplificando...

f x = x 27 + 1 x 69 1 + 1 x 69

Aplicando o limite fazendo x → ∞ , temos

lim x → + ∞ ⁡ x 96 + 1 x 69 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 27 + 1 x 69 1 + 1 x 69

Perceba que os termos 1 x 69 tendem a 0 já que temos um numerador relativamente pequeno e um denominador muito grande...

lim x → + ∞ ⁡ x 96 + 1 x 69 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 27 + 1 x 69 1 + 1 x 69 = ∞ 27 + 1 ∞ 69 1 + 1 ∞ 69

lim x → + ∞ ⁡ x 96 + 1 x 69 + 1 = ∞ + 0 1 + 0

lim x → + ∞ ⁡ x 96 + 1 x 69 + 1 = ∞

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 96 + 1 x 69 + 1 = ∞

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