Determine os valores de a e b de modo que:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + b x + 3 x + 1 - a x = 0

Passo 1

Fala aí galera, como vocês estão?

Nessa questão recebemos o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + b x + 3 x + 1 - a x

Precisamos determinar a e b de modo que esse limite seja nulo.

Como x está tendendo a infinito, para esse limite ser nulo, precisamos ou que o grau do polinômio no denominador seja maior do que o grau do polinômio no numerador, ou que o numerador zere.

Então, vamos manipular a expressão dentro do nosso limite para verificarmos qual dessas duas opções é viável, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

No nosso limite, temos a seguinte expressão:

2 x 2 + b x + 3 x + 1 - a x

Vamos deixar tudo numa mesma fração:

2 x 2 + b x + 3 - a x x + 1 x + 1

= 2 - a x 2 + b - a x + 3 x + 1

Lembra o que comentamos no passo anterior? Para esse limite zerar, ou zeramos o numerador, ou deixamos o denominador com um grau de polinômio maior do que o numerador.

A primeira opção é inviável, pois temos um termo que independe de x no numerador que não vai zerar nem que a vaca tussa hahaha.

Então, vamos tentar deixar o polinômio no numerador com grau menor do que o polinômio no denominador.

Como no denominador o polinômio é:

x + 1

Que tem grau igual a 1 , precisamos que o numerador fique com um polinômio de grau nulo, ou seja, apenas o termo independente de x .

Para isso, temos o seguinte sisteminha:

2 - a = 0 b - a = 0

Da primeira equação, vem:

a = 2

Da segunda equação, vem:

a = b

Logo, temos:

a = b = 2

Dessa forma, a nossa fração:

2 - a x 2 + b - a x + 3 x + 1

Será igual a:

3 x + 1

Cujo limite é nulo quando x → ∞ .

Então é isso gente!!Matamos mais uma questãozita 😊

Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima!!

Resposta

a = b = 2

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