Mostre que

lim x → +∞ (e^x) / (x^n) = ∞

para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de x.

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que calcular o limite e mostrar que

l i m x → + ∞ e x x n = ∞

Vamos tentar aplicar a regra de L’Hôspital caso apareça alguma indeterminação. Então vamos calcular! Saca só!

Passo 2

Vamos aplicar o limite

l i m x → + ∞ e x x n = ∞ ∞ = I N D

Então temos uma indeterminação que permite aplicar a regra de L’Hôspital. Derivando o numerador e o denominador

l i m x → + ∞ e x x n = l i m x → + ∞ e x n x n - 1

Aplicando o limite

l i m x → + ∞ e x n x n - 1 = ∞ ∞ = I N D

Ainda temos uma indeterminação, então se aplicarmos a regra n vezes, teremos:

l i m x → + ∞ e x x n = l i m x → + ∞ e x n !

Aplicando o limite

l i m x → + ∞ e x n ! = ∞ n ! = ∞

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → + ∞ e x x n = ∞ .

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