Mostre que

lim(x → +∞) ln(x) / x^p = 0

para todo número p > 0. Isso mostra que a função logaritmo tende a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x.

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que calcular o limite e mostrar que

l i m x → + ∞ l n   x x p = 0

Vamos tentar aplicar a regra de L’Hôspital caso apareça alguma indeterminação. Então vamos calcular! Saca só!

Passo 2

Vamos aplicar o limite

l i m x → + �� l n   x x p = ∞ ∞ = I N D

Então temos uma indeterminação que permite aplicar a regra de L’Hôspital. Derivando o numerador e o denominador

l i m x → + ∞ l n   x x p = l i m x → + ∞ 1 / x p   x p - 1 = l i m x → + ∞ 1 p   x p

Aplicando o limite

l i m x → + ∞ 1 p   x p = 1 ∞ = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → + ∞ l n   x x p = 0 .

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