UFMG, Cálc.1, 2020.2, P1, 5
Sejam e números reais e seja um inteiro positivo tais que
O valor de é
Passo 1
Falaaa, belezinha?? Bora para mais um problema dessa prova, envolvendo limite.
Esse problema é clássico de limite. Pois quando temos indo para infinito, o numerador e o denominador irão para infinito, porém o limite da um número real. Primeiro, bora tentar “diminuir” essa expressão para analisar melhor. Para isso, veja que:
Agora, veja que no limite, temos que:
Isso sai do teorema do confronto, uma vez que temos uma função limitada vezes uma função indo para zero .
Ou seja, basta analisarmos
Passo 2
Agora, para continuarmos, vamos fazer uma ideia comum, que é dividir todo mundo pelo coeficiente de maior grau do denominador, ou seja:
Agora podemos fazer o seguinte:
Agora, vamos ver que quando vai para infinito, o denominador vai para 9 e o numerador vai para infinito, porém isso tem que dar um limite real, ou seja, o numerador não pode ir para infinito.
Veja que se vai para infinito, o único jeito do numerador não ir é:
não ir para infinito, ou seja, ou
Porém, veja que se o limite daria zero. Ou seja, o que queremos é:
Passo 3
Agora bora voltar usando essas informações:
E dai, temos que:
Por isso, temos que , chegando ao fim de outro probleminha dessa prova, bora para o último?
Resposta
Letra A