Sejam a   e b números reais e seja c um inteiro positivo tais que

lim x → ∞ ⁡ a x 15 + b x c + 2 s i n ⁡ ( x 8 ) 9 x 8 + 16 x 7 = 10 .

O valor de a + b + c é

a )   98

b )   100

c )   97

d )   96

e )   99

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora para mais um problema dessa prova, envolvendo limite.

Esse problema é clássico de limite. Pois quando temos x indo para infinito, o numerador e o denominador irão para infinito, porém o limite da um número real. Primeiro, bora tentar “diminuir” essa expressão para analisar melhor. Para isso, veja que:

a x 15 + b x c + 2 s i n ⁡ ( x 8 ) 9 x 8 + 16 x 7 = a x 15 + b x c 9 x 8 + 16 x 7 + 2 s i n ⁡ ( x 8 ) 9 x 8 + 16 x 7

Agora, veja que no limite, temos que:

lim x → ∞ ⁡ 2 sin ⁡ x 8 9 x 8 + 16 x 7 ⁡ = 0

Isso sai do teorema do confronto, uma vez que temos uma função limitada ( s e n o ) vezes uma função indo para zero 1 9 x 8 + 16 x 7 .

Ou seja, basta analisarmos

lim x → ∞ ⁡ a x 15 + b x c 9 x 8 + 16 x 7 ⁡ = 10

Passo 2

Agora, para continuarmos, vamos fazer uma ideia comum, que é dividir todo mundo pelo coeficiente de maior grau do denominador, ou seja:

lim x → ∞ ⁡ a x 15 + b x c 9 x 8 + 16 x 7 = lim x → ∞ ⁡ a x 15 + b x c x 8 ( 9 + 16 x )

Agora podemos fazer o seguinte:

= lim x → ∞ ⁡ a x 7 + b x c - 8 ( 9 + 16 x ) = 10  

Agora, vamos ver que quando x vai para infinito, o denominador vai para 9 e o numerador vai para infinito, porém isso tem que dar um limite real, ou seja, o numerador não pode ir para infinito.

Veja que se x vai para infinito, o único jeito do numerador não ir é:

a = 0

b x c - 8 não ir para infinito, ou seja, b = 0 ou x c - 8 = 1

Porém, veja que se a = b = 0 o limite daria zero. Ou seja, o que queremos é:

a = 0   e   x c - 8 = 1   ∴ c = 8

Passo 3

Agora bora voltar usando essas informações:

lim x → ∞ ⁡ b ( 9 + 16 x ) = 10

E dai, temos que: b 9 = 10   ∴ b = 90

Por isso, temos que a + b + c = 98 , chegando ao fim de outro probleminha dessa prova, bora para o último?

Resposta

Letra A

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