1a) Calcule a derivada das seguintes funções:

f x = ln ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

Vamos lá. Galera, nota o seguinte nessa função maluca aí: ela é na verdade um produto de duas funções! Quando é assim, podemos usar a regra do produto pra derivar. Saca só:

f ' x = ln ⁡ x x 2 + 1 '

f ' x = ln ⁡ x ' x 2 + 1 + ln ⁡ x x 2 + 1 '

f ' x = x 2 + 1 x + ln ⁡ x x 2 + 1 '

Sobrou um pedacinho ali pra derivar. Vamos deixar pro próximo passo.

Passo 2

Olha só, nós sabemos derivar x ' e x 2 + 1 ' não é mesmo? E bem, a segunda função ta dentro da primeira! Isso aí significa ó: cheirinho de regra da cadeia! Sendo a regra:

h g x ' = h ' g x ∙ g ' x

Derivamos x 2 + 1 ' :

x 2 + 1 ' = 1 2 x 2 + 1   x 2 + 1 '

x 2 + 1 ' = 2 x 2 x 2 + 1 = x x 2 + 1  

E pronto! Nossa derivada vai ser:

f ' x = x 2 + 1 x + x ln ⁡ x x 2 + 1

Resposta

f ' x = x 2 + 1 x + x ln ⁡ x x 2 + 1

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