10. (1EE-2017.2-Adaptada) Calcule as derivadas das seguintes funções:

b) g(x) = sec(e^(-x))

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é calcular a derivada da função g x = sec ⁡ e - x .

E aí, parece tranquilo?

Perceba que g x é uma função composta pois a s e c depende de outra função e não de uma variável.

Para esses casos, podemos aplicar a regra da cadeia que diz

g x = f h x → g ' x = h ' x f ' h x

Ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora...

Bora começar! 😁

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos

g ' x = d e - x d x · d sec ⁡ h x d h x

Substituindo h x por uma variável u

g ' x = d e - x d x · d sec ⁡ u d u

Porém, perceba que e - x também é uma função composta, pois e varia de acordo com a função - x .

Aplicando a regra da cadeia para d e - x d x também, substituindo - x por v , temos

g ' x = d - x d x · d e v d v · d sec ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de - x é

d - x d x = - 1

Já pelo teorema fundamental do cálculo, as derivadas de e v e sec ⁡ u são

d e v d v = e v

d sec ⁡ u d u = sec ⁡ u t g u

Substituindo em g ' x

g ' x = - 1 · e v · sec ⁡ u t g u

Substituindo u por e - x e v por - x , temos

g ' x = - e - x sec ⁡ e - x t g e - x

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

g ' x = - e - x sec ⁡ e - x t g e - x

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